Não existe uma forma oficial de baixar os status do WhatsApp. No entanto, isso não quer dizer que seja uma tarefa impossível. De fato, é relativamente simples de fazê-lo se você conhece a metodologia certa ou se tiver o aplicativo certo.
Como baixar os status do WhatsApp sem instalar apps
A melhor forma para baixar status do WhatsApp é usando o explorador de arquivos do próprio sistema. No entanto, neste ponto é necessário esclarecer uma coisa. A pasta que você deve acessar está oculta. Portanto, é necessário que seu explorador permita a visualização de arquivos ocultos. Se você não tem essa função, use alternativas como Total Commander.
Em nosso caso, pudemos usar o explorador integrado. Primeiro, visualize o status que você deseja baixar. Fazendo isso você força o WhatsApp a armazená-lo na memória interna. Em seguida, navegue pela memória do seu dispositivo até o caminho /WhatsApp/Media/. Lá você verá a pasta Statuses. Clique nela.

Lá encontrará os arquivos que seus contatos carregaram em seus status.

Copie-os para qualquer outra pasta ou carregue-os na nuvem para criar um backup. De igual forma, é possível usá-los em outros aplicativos, como Telegram ou Twitter.
Como baixar status do WhatsApp com SnapTube
Se não ficou claro para você o método anterior, também é possível baixar os status do WhatsApp com Snaptube.
Novamente, antes de proceder à obter o conteúdo, é indispensável visualizá-lo no WhatsApp. Depois, na tela inicial do Snaptube, clique em View all sites.

Em seguida, clique no ícone do WhatsApp.

Finalmente, escolha a imagem ou o vídeo que você deseja baixar.

Para visualizar os arquivos baixados com Snaptube, ir até a pasta snaptube da memória interna. No diretório Download, você encontrará todo o conteúdo baixado desde os status do WhatsApp. Como é lógico, lá você poderá movê-lo ou fazer upload para a nuvem, caso preferir.