Para actualizar Google Play Services hay dos opciones, entrando en Play Store o bien accediendo a nuestra web.
Actualizar Google Play Services desde Google Play
Para hacerlo desde el sistema operativo primero accede a los ajustes de Android y ve hasta el menú Apps & notifications.

Pulsa sobre App info.

Localiza en el listado Google Play Services y pulsa sobre él.

Haz scroll hasta el final de la pantalla y pulsa App details.

Serás redirigido hasta una ventana de Google Play Store. Si aparece el botón verde Update significa que tu versión está obsoleta, púlsalo para instalar la última versión disponible como harías con cualquier otra app. Si aparece cualquier otro botón que no sea ese significa que estás al día y no tienes que hacer nada.
Resolución de problemas
Si por algún problema no vieras el botón Update pero tienes la certeza de que existe una nueva versión, debes probar a borrar la caché y los datos de Google Play Services. Accede a los ajustes como hemos hecho anteriormente, sitúate en el listado de apps y pulsa sobre Google Play Services. A continuación pulsa sobre la opción Almacenamiento.

A continuación pulsa sobre sobre Borrar Caché.

Ahora haz un tap sobre Gestionar Almacenamiento.

Acciona el botón Borrar todos los datos.

Por último vuelve a la Google Play Store, espera 5 minutos y prueba nuevamente a descargar tu actualización de Google Play Services. Para ello repite los pasos que hemos seguido con Google Play Services, pero aplicados a la app de Google Play Store que tienes instalada
Actualizar Google Play Services desde Malavida
Otra opción para actualizar esta app es usar nuestra propia web. Toma tu smartphone y accede a los ajustes. Entra en Apps & notifications, encuentra Google Play Services y accede. Haz scroll y baja hasta abajo del todo para ver el número de versión instalada.
Ahora visita nuestra web dedicada a Google Play Services y contrasta el número de la versión que ofrecemos con el tuyo. ¿Es el mismo? Significará que estás al día y puedes dejar de leer aquí. En cambio, si el número es inferior al que ofrecemos tendrás que actualizar. Pulsa sobre el botón verde Descargar que te ofrecemos en nuestra web o al final de esta guía (si es la primera vez que lo haces, Android te solicitará primero que le des permisos de instalación e apps al navegador).

Cuando se descargue por completo el APK, pulsa sobre la notificación en pantalla o visita tu carpeta de descargas para comenzar la instalación de la versión actualizada pulsando sobre el fichero (si es la primera vez que instalas un APK desde la notificación de tu navegador, el sistema te solicitará permisos para que ese navegador pueda instalar aplicaciones

La realidad es que rara vez tendrás que actualizar tú manualmente Google Play Services en el teléfono. Se trata de una app básica de sistema que actúa de puente entre apps y servicios de Google, por lo que el mismo sistema operativo se encarga de chequear continuamente que cuentas con la última versión del mismo. Es la única forma de garantizar el mejor rendimiento posible del teléfono.