Para usar los stickers en WhatsApp, en primer lugar, abre una conversación cualquiera y pulsa en el botón de los emojis:

A continuación, pulsa en el icono de la derecha de los tres que aparecen en la parte inferior de la pantalla:

Llegarás a la pestaña de los stickers. Pincha en cualquiera de las categorías para visualizar su contenido:

Pulsa en el que más te interese para enviarlo a la conversación:

Y ya está, así de sencillo es usar los stickers en WhatsApp. Puedes conseguir más desde la propia pestaña de stickers de la app, pulsando en el botón de la cruz:

Alternativamente, también puedes usar aplicaciones como Sticker.ly para añadir packs de stickers pregenerados a WhatsApp, o incluso crear los tuyos propios.
WhatsApp no fue la primera app de su clase en incorporar este tipo de evolución de los emojis. Muy anterior a que los stickers llegasen aquí, Line hacía tiempo que se había comido el mercado japonés con ellos (algunos incluso se tenían que comprar con dinero real). Posteriormente sería Facebook Messenger quien los incorporase a su lista de funcionalidades, pero WhatsApp se hizo de rogar.
A pesar de los intentos de Line por que la idea de la tienda de stickers cuajase fuera del país nipón (algo que no ocurrió, igual que no se generalizó el uso de la app), no fue hasta que WhatsApp se decidió a incorporarlos que vivimos un boom de estos elementos. Hoy en día su uso está totalmente generalizado a nivel mundial y se pueden encontrar colecciones muy bien hechas que añadir a nuestro repertorio.